Divulgaciones Matemáticas Vol. 22 No. 1 (2021), pp. 9698
Problemas y Soluciones
Problems and Solutions
Editor: José Heber Nieto (
jhnieto@gmail.com
)
Departamento de Matemática, Facultad Exp. de Ciencias
Universidad del Zulia, Maracaibo. Venezuela.
Los problemas apropiados para esta sección son aquellos que puedan ser abordados por un
estudiante de matemática no graduado sin conocimientos especializados. Problemas abiertos
conocidos no son aceptables. Se preeren problemas originales e interesantes. Las soluciones
y los problemas propuestos deben dirigirse al editor por correo electrónico, en español o
inglés, a la dirección arriba indicada (preferiblemente como un archivo fuente en L
A
T
EX). Las
propuestas deben acompañarse de la solución, o al menos de información suciente que haga
razonable pensar que una solución puede ser hallada.
Appropriate problems for this section are those which may be tackled by undergradu-
ate math students without specialized knowledge. Known open problems are not suitable.
Original and interesting problems are preferred. Problem proposals and solutions should
be e-mailed to the editor, in Spanish or English, to the address given above (preferably as
a L
A
T
EX source le). Proposals should be accompanied by a solution or, at least, enough
information on why a solution is likely.
1 Problemas propuestos
Los tres problemas propuestos a continuación se plantearon en la Olimpiada Matemática de
Centroamérica y el Caribe 2020, organizada por Panamá y realizada de manera virtual.
148. Se tienen monedas idénticas distribuidas en varias pilas con una o más monedas en cada
pila. Una
operación
consiste en tomar dos pilas, con una cantidad total de monedas par
entre ellas, y repartir sus monedas entre las dos pilas de modo que ambas terminen con la
misma cantidad. Una distribución es
nivelable
si es posible, mediante 0 o más operaciones,
lograr que todos los pilas queden con el mismo número de monedas. Determine todos los
enteros positivos
n
tales que, para todo entero positivo
k
, cualquier distribución de
nk
monedas en
n
pilas es nivelable.
149. Sea
P(x)
un polinomio con coecientes reales no negativos. Sea
k
un entero positivo y sean
x1
,
x2
,. . .
xk
números reales positivos tales que
x1x2···xk= 1
. Demuestre que
P(x1) + P(x2) + ··· +P(xk)≥kP (1).
150. Se dice que un entero positivo
N
es
interoceánico
si su factorización prima
N=px1
1px2
2···pxk
k
satisface que
x1+x2+··· +xk=p1+p2+··· +pk.
Encuentre todos los números interoceánicos menores que 2020.
Problemas y Soluciones 97
2 Soluciones
Recordamos que no se han recibido soluciones a los problemas 2425, 2728, 44, 54, 79, 84
91, 94100, 108113, 116, 118123, 126, 128129, 133143 y 145147. Invitamos a los lectores a
enviarnos sus soluciones para esos problemas.
59. [
10
(1) (2002) p. 86.] Hallar el máximo valor del número real
m
, tal que sea cierta la siguiente
armación:
Si
a
,
b
,
c
y
d
son números enteros positivos tales que,
c>d
a+b=c+d
ab = 2cd
entonces
c/d > m
.
Solución del editor:
El máximo es
3+√8
. Supongamos que
a
,
b
,
c
y
d
cumplen las condiciones
y pongamos
x=c−a=b−d
. Entonces
(c−x)(d+x) = ab = 2cd
, de donde
x2−(c−d)x+cd =
0
y
(c−d)2−4cd ≥0
, o sea
c2−6cd +d2≥0
,
(c−3d)2−8d2≥0
,
(c/d −3)2≥8
,
|c/d −3| ≥ √8
, y como
c>d
debe ser
c/d > 3 + √8
. Para ver que
3 + √8
es el valor mínimo
consideremos su desarrollo en fracción continua simple, a saber
[5,1,4,1,4, . . .]
, y sean
cn/dn
los convergentes. Entonces
c1= 5
,
d1= 1
,
c2= 6
,
d2= 1
y se tienen las recurrencias
c2k=c2k−1+c2k−2
,
d2k=d2k−1+d2k−2
,
c2k+1 = 4c2k+c2k−1
,
d2k+1 = 4d2k+d2k−1
.
De aquí se deduce fácilmente que
d2k=c2k−2
y que
c2k= 6c2k−2+c2k−4
. Como
c2= 6
,
c3= 4 ·6 + 5 = 29
y
c4= 6 + 29 = 35
, vemos que
c2
es par,
c4
es impar y de la
recurrencia
c2k= 6c2k−2+c2k−4
se sigue que los
c2k
son alternadamente pares e impares.
Luego
a2k= (c2k+c2k−2+ 1)/2
y
b2k= (c2k+c2k−2−1)/2
son enteros positivos y
a2k+b2k=c2k+c2k−2=c2k+d2k
. La condición
a2kb2k= 2c2kd2k
equivale a
(c2k+c2k−2+ 1)(c2k+c2k−2−1) = 8c2kc2k−2,
o sea
(c2k+c2k−2)2−1−8c2kc2k−2= 0,
que para
k= 2
se verica. Asumiendo que se cumple para
k
, para
k+ 1
se tiene
(c2k+2 +c2k)2−1−8c2k+2c2k= (7c2k−c2k−2)2−1−8(6c2k−c2k−2)c2k
= 49c2
2k−14c2kc2k−2+c2
2k−2−1−48c2
2k+ 8c2k−2c2k
=c2
2k−6c2kc2k−2+c2
2k−2−1
= (c2
2k+c2k−2)2−8c2kc2k−2−1=0.
Esto muestra que hay una sucesión innita de números
c2k
,
d2k
,
a2k
,
b2k
que cumplen las
condiciones y tales que
c2k/d2k→3 + √8
cuando
k→ ∞
.
69. [
11
(1) (2003) p. 84.] Sea
ABC
un triángulo acutángulo. Sean
D
,
E
y
F
los pies de las
alturas y
X
,
Y
, y
Z
los puntos medios de los lados
BC
,
AC
y
AB
, respectivamente. Sea
H
el punto de intersección de las alturas. Supóngase que
H
no se encuentra en el interior del
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98 José H. Nieto (ed.)
triángulo
XY Z
. Demostrar que por lo menos el área de uno de los triángulos
AEF
,
BDF
,
CDE
es menor o igual que
1/9
del área del triángulo
ABC
.
Solución del editor:
H
debe encontrarse en el semiplano limitado por
Y Z
que contiene a
A
, o en el limitado por
XZ
que contiene a
B
, o en el limitado por
XY
que contiene a
C
.
Supongamos que se da el primer caso (los otros son similares). Consideremos el triángulo
isósceles
BAP C
con
∠BP C =∠BAC =α
y sea
K
el ortocentro de
BP C
. Es fácil ver que
P K =AH ≤HD ≤KX
.
Como
∠BP X =α/2
y
∠BKX = 90◦−α/2
se tiene
cot α/2 = XP
XB ≤2XQ
XB = 2 cot(90◦−α/2) = 2 tan α/2,
de donde
tan2α/2≥1/2
. Luego
cos α=1−tan2α
2
1 + tan2α
2
=−1 + 2
1 + tan2α
2≤ −1 + 2
1 + 1
2
=1
3.
Finalmente
[AEF ] = 1
2AE ·AF sen α=1
2AC cos α·AB cos αsen α= [ABC] cos2α≤1
9[ABC].
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